Le déterminant est bien plus qu'un simple nombre ; il s'agit d'une fonction scalaire unique d'une matrice carrée qui caractérise son facteur géométrique d'expansion ainsi que son inversibilité algébrique. En comprenant les règles fondamentales régissant les produits et les transposées, nous pouvons décomposer des transformations complexes en étapes arithmétiques simples.
La puissance de la propriété du produit
Peut-être le résultat le plus profond de la théorie des déterminants est la règle du produit:
$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$
Cette identité nous indique que le facteur d'agrandissement du volume dans une suite de transformations est simplement le produit de leurs facteurs d'agrandissement individuels. De là découlent immédiatement des conséquences pour les inverses :
Puisque $A A^{-1} = I$, on déduit que $\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1$.
D'après la règle du produit : $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$.
Par conséquent, pour toute matrice inversible : $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$.
Symétrie et orthogonalité
La règle 10 stipule que $\det A = \det A^T$. Cela crée une symétrie parfaite entre lignes et colonnes. Toute propriété que nous prouvons concernant les permutations de lignes ou les combinaisons linéaires de lignes s'applique de manière identique aux colonnes. Cela nous mène au cas particulier des matrices orthogonales ($Q$):
- Une matrice orthogonale satisfait $Q^T Q = I$.
- D'après la règle du produit : $\det(Q^T) \det(Q) = \det(I) = 1$.
- Puisque $\det Q^T = \det Q$, nous avons $(\det Q)^2 = 1$.
- Conclusion : $\det Q = 1$ (rotation) ou $\det Q = -1$ (réflexion).
Avertissement sur la non-linéarité
Il est essentiel de se souvenir que le déterminant n'est pas pas une application linéaire. Bien que $f(A+B) = f(A) + f(B)$ soit vrai pour les opérateurs linéaires, cela est généralement faux pour les déterminants :
$$\det(A+B) \neq \det A + \det B$$
En outre, multiplier une matrice par $k$ donne $\det(kA) = k^n \det A$ pour une matrice $n \times n$, car $k$ multiplie chacune des $n$ lignes.
- $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
- $\det(A^T) = \det A$
- $\det(kA) = k^n \det A$
- $\det(A^{-1}) = 1/\det A$